解析力學(xué)力矩和力偶矩的正負(fù)
一、力矩的正負(fù)
對(duì)于初次接觸力矩概念的學(xué)生，判斷力矩正負(fù)有一定的認(rèn)知挑戰(zhàn)性(對(duì)于教師或已掌握的自是“會(huì)者不難”)，這需要通過(guò)形象的例子縮小認(rèn)知梯度。
力矩的正負(fù)需要從物體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)談起。
物體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可以用圓盤(pán)在其平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)表示。為了表示圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，除了要知道轉(zhuǎn)動(dòng)快慢之外，我們還需要知道轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)向。顯然轉(zhuǎn)向只有兩個(gè)狀態(tài)，一個(gè)是逆指針(圖1a),另一個(gè)是順時(shí)針(圖1b)。
圖1
對(duì)只有兩個(gè)狀態(tài)的物理量，自然可以用正號(hào)和負(fù)號(hào)來(lái)區(qū)分。通常選擇逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)(這種選法與空間情形的右手螺旋法則一致)。按此選法，一個(gè)帶正負(fù)號(hào)的量就既能表示定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢，也能表示圓盤(pán)轉(zhuǎn)向了。
如果圓盤(pán)轉(zhuǎn)向?yàn)槟鏁r(shí)針(正號(hào))，某個(gè)力有使轉(zhuǎn)動(dòng)加速的效果，那么這個(gè)力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩就是正的。反之，如果該力使逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤(pán)減速，則此力對(duì)轉(zhuǎn)軸之矩就是負(fù)的。
力可以通過(guò)使物體獲得加速度來(lái)體會(huì)，但是為了使研究結(jié)果有一般性，我們往往盡可能只討論力(暫時(shí)把物體放到一邊去)。對(duì)力矩也是這樣，即使沒(méi)有物體，我們也能討論力矩。
物體既然沒(méi)有了，轉(zhuǎn)動(dòng)軸當(dāng)然也就不存在。此時(shí)，為了表征力的轉(zhuǎn)動(dòng)效果，我們是計(jì)算力對(duì)矩心之矩—可以把這個(gè)矩心形象地想象為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的軸。
想象在矩心處有一垂直于紙面的軸(見(jiàn)圖2)，伸出右手，讓大拇指沿軸方向，四指卷曲去抓住這根軸。如果力的作用順著上述四指從指根到指尖，則該力對(duì)矩心的矩為正，比如圖中的F1。
圖2
若想象紙面上有個(gè)鬧鐘，則上述四指從指根到指尖卷曲的轉(zhuǎn)向與鐘的逆時(shí)針轉(zhuǎn)向一致，這就是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的矩為正的原因。反之，如果力對(duì)矩心的作用與四指從指根到指尖卷曲轉(zhuǎn)向相反，如圖中的F2,則該力對(duì)矩心的矩為負(fù)，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針轉(zhuǎn)向。
如果還是沒(méi)感覺(jué)，那么從力矢的尾端向始端畫(huà)個(gè)弧，矩心要被這個(gè)弧和力矢包含在內(nèi)。如果從力尾端到力始端的弧是逆時(shí)針的，則該力對(duì)矩心的矩是正的，否則為負(fù)。見(jiàn)圖3。
圖3
二、力偶矩的正負(fù)
力偶可以理解為兩個(gè)力來(lái)配對(duì)，配對(duì)條件是它們大小相等，方向相反。力偶矩的正負(fù)號(hào)當(dāng)然要與力矩的一致，即“順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正”規(guī)則，也可用圖2來(lái)示意。若無(wú)示意圖時(shí)，當(dāng)然就使用這個(gè)規(guī)則，如M=40 N·m表示逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩，大小為40 N·m，而M=-30 N·m表示順時(shí)針轉(zhuǎn)向的力矩，大小為30 N·m。
力學(xué)分析喜歡使用受力圖。一旦有受力圖，總是把圖形示意的轉(zhuǎn)向?yàn)閰⒖嫁D(zhuǎn)向，比如圖4中四個(gè)帶箭頭的弧標(biāo)明了參考轉(zhuǎn)向，弧箭頭旁邊的符號(hào)M1,M2,M3,M4表示力矩的數(shù)值，它要另行補(bǔ)充，比如 M1=10 N·m , M2=-20 N·m, M=30 N·m, M=-40 N·m。
圖4
M1=10 N·m的數(shù)值與圖示的弧箭頭轉(zhuǎn)向一起表示這是大小為10 N·m的逆時(shí)針轉(zhuǎn)向力偶。也不能因M2=-20 N·m中有負(fù)號(hào)而認(rèn)為它是順時(shí)針轉(zhuǎn)向，而是因?yàn)橛辛藞D形，M2數(shù)值和圖示轉(zhuǎn)向一起表明是大小為20N·m順時(shí)針轉(zhuǎn)向作用的力偶。M=30 N·m也不表示它是逆時(shí)針，參考圖示轉(zhuǎn)向，它是大小為30 N·m的順時(shí)針轉(zhuǎn)向作用的力偶。類似地，M=-40 N·m與圖示參考轉(zhuǎn)向一起，表示大小為40 N·m的逆時(shí)針轉(zhuǎn)向作用的力偶。
三、寫(xiě)平衡方程
在寫(xiě)矩平衡方程時(shí)，我們會(huì)選擇一個(gè)參考正轉(zhuǎn)向(如無(wú)明確聲明，則默認(rèn)逆時(shí)針為參考正轉(zhuǎn)向)。參考受力圖，如果力對(duì)矩心的轉(zhuǎn)動(dòng)作用與參考正轉(zhuǎn)向一致則在方程中為正號(hào)，反之，當(dāng)力對(duì)矩心的轉(zhuǎn)動(dòng)作用與參考正轉(zhuǎn)向相反，該力的矩在平衡方程中取負(fù)號(hào)。
對(duì)不同的矩心，力矩的正負(fù)號(hào)可能會(huì)變。
力偶處理與上述力矩類似，但是正負(fù)號(hào)(和大小都)不因矩心而變。
參考文獻(xiàn)
來(lái)源：圖形公式不煩惱公眾號(hào)（ID：ArtByMathematica），作者：陳奎孚。 .理論力學(xué)精細(xì)輔導(dǎo).北京：清華大學(xué)出版社.2018.9
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